В последнее время всё чаще в речи встречается синтаксическая конструкция "Мне всё равно на..."
Насколько правильна такая фраза с точки зрения русской грамматики и стилистики?

Замечательный вопрос.
Сейчас в речи можно и не такое услышать. Невольно начинаешь задумываться, а может подобные шедевры и соответствуют литературным нормам нашего великого и могучего.
Некоторые конструкции настолько быстро и хорошо приживаются в народе, что просто диву даешься. Про слова и выражения-паразиты уже и говорить не приходится.
Конструкция их вопроса, безусловно, нормам русского литературного языка не соответствует ( так и хочется добавить знаменитое нынче "от слова совсем" ).
Мне все равно, что он подумает.
Мне все равно, как он этого добьется.
Мне все равно, кто будет дежурить за них.
Или просто
Мне все равно.
Конструкции мне все равно + существительное/личн�ое местоимение ( неважно с предлогом или без ) в нашем языке нет. Мысль, которую несет данная конструкция, с точки зрения норм литературного языка можно выразит, например, так:
мне кто-то/что-то безразличен/безразли�чно,
мне нет дела до кого-то/чего-то,
мне наплевать на кого-то/что-то ( думаю, именно этот оборот лежит "у истоков" выражения из вопроса ).
Но, если "мне все равно на ..." будет так активно употребляться, то кто знает, может через пару десятилетий, конструкция станет нормой...