Какое часть речи являтеся сочетание "на здоровье"?
Примеры предложений.

Определить морфологическую принадлежность этого предложного сочетания без контекста однозначно нельзя.
Только речевое/словесное окружение покажет, что перед нами: имя существительное с предлогом, наречие или междометие.
Кратко о названных вариантах.
Имя существительное "здоровье" с предлогом на в форме винительного падежа, напр., На здоровье (на что?) пока не жалуюсь.
Разговорное наречие, обычно употребляется с глаголом и имеет значение "без ограничений", "сколько угодно", напр., Вот мой пирог - кушайте на здоровье (как?).
Разговорное междометие/междметное устойчивое сочетание, используется как синоним к "пожалуйста", напр., Спасибо за хлеб-соль/На здоровье!
                                                                              

На здоровье- это- устойчивое словосочетание или фразеологизм.
Употребление этого словосочетания польностью зависит от контекста.
Чаще всего употребляется после выражения благодарности - Спасибо !-  На здоровье!