Как правильно пишется: "Карачаево-Черкесия" или "Карачаево-черкессия"? ?
Как пишется название: "Карачаево-Черкесия" или "Карачаево черкессия"? ?
Как объяснить написание слова "Карачаево-Черкесия"?

Если Вы имеете в виду выбор строчной или заглавной буквы в написании второй части сложного имени собственного, то все части сложных имён собственных пишутся с заглавных букв (исключение - Рио-де-Жанейро, но "де" - не полноценное слово, а частица). И в названии "Карачаево-Черкесия" тоже надо писать с заглавной буквы обе части.
А если Вы о количестве букв "с" в слове "Черкесия" - то она одна. "Карачаево-Черкесия", а не "Карачаево-Черкессия". Потому что происходит это название от этнонима "черкес", а не "черкесс".
Но прилагательное от этого названия надо писать только с двумя "с": "Карачаево-Черкесская республика", потому что "ск" - это суффикс.
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Действительно, здесь запутаться может каждый.Потому что когда речь идет о названии "Карачаево-Черкесия", в слове "Черкесия" пишется одна буква "с". А вот когда говорим о республике - "Карачаево-Черкесская Республика",то уже здесь две буквы "с", и название столицы республики Черкесск пишется с двумя "с".
Обратимся источникам:
Вот так. Придётся запоминать.

Карачаево-Черкесия пишется с одной буквой с