Филологи мира сего, помогите!
Как правильно:"... в здании являющ (е/и) мся объектом..." ?

Контекст дан не совсем точно. Поэтому можно говорить только о "скорее всего".
В выдержке "... в здании являющ (е/и) мся объектом..." после формы "в здании", вероятнее всего, стоит запятая. Если так, то возвратное причастие "являющемся" относится к существительному "здание".
В чём? где? - "в здании". В каком здании? - "в являющемся". Мы образуем формы предложного падежа. Единственное число среднего рода выглядит как "являющемся".
Словоформа "являющимся" (с гласной "и") используется в других случаях. Это творительный падеж. Такая форма подошла бы в контексте: "зданием, являющимся объектом...".
Итак, верный ответ: "... в здании, являющемся объектом ..., "
                                                                              

Это выражение с причастным оборотом (он должен выделяться запятыми). Само причастие, использованное  в составе причастного оборота,  поясняет  имя существительное, определяют его. Поэтому существительное  является определяемым, а причастие --  определением.
Определения, выраженные причастиями,  связываются с определяемыми словами по способу согласования, то есть они согласуются с определяемыми словами в роде, числе и падеже.
В данном конкретном сочетании определяемое существительное "здание" -- среднего рода, используется в числе единственном и падеже предложном. Следовательно, и причастие "являющийся" должно ставиться в той же самой форме.
Но окончание интересующего причастия находится в безударном положении, что и вызывает, в первую очередь, сомнения.
А здесь можно применить  правило, по которому довольно легко  определяются безударные окончания имен прилагательных, учитывая, что полные причастия склоняются так же, как и прилагательные.
В помощь  нам  вопрос "какой?" в  разных падежных формах. По ударному окончанию в вопросе определяется и окончание в согласованном с существительным причастии (прилагательном), к которому  этот вопрос задаётся.  Оно должно быть таким же, как в вопросе (с учетом  типа склонения  прилагательных).
Итак, к определяемому существительному "в здании" задается вопрос "в каком?" с окончанием "-ом".  Следовательно, окончание согласуемого причастия должно быть "-ом" или "-ем" (как в прилагательных "новом" или "летнем").
Правильно написать так:   в здании,  являющемся объектом...

Если слово- здание, заменить на слово- болото, то и правописание определить легче. В болоте, являющемся большим природным  резервуаром чистой воды, можно промышленно собирать ягоды. Здание, являющемся историческим памятником, надо охранять и содержать. А к памятнику, являющимся наследием старого быта, надо
присмотреться пристально.