Как решить "Заведение" или "за ведение" – как правильно пишется?.

Всё зависит от того, что именно Вы пишете. Помимо разных правил про "не вместе", "не раздельно" или "что и когда пишется через дефис" есть ещё такая банальная материя как лексическое значение слова. Просто (некоторые сказали бы "тупо", но я не разделяю такой выбор) смотрим на то, что слово обозначает.
Заведение - прежде всего учреждение, предприятие; потом процесс, при котором кого-то куда-то заводят, и, в конце концов, обычай. При любом раскладе событий речь идёт об одном слове, которое не может терять никаких "деталей", не изменив значения.
Если от него отвалится приставка за-, то получится совершенно другое слово, даже два: вéдение как сфера деятельности и ведéние как отглагольное существительное от "вести":Может ли любое из этих слов оказаться рядом с предлогом за?Очень даже может! В этом случае оно оказывается в винительном падеже, то есть в предложении выступает дополнением. Первый вариант встречается крайне редко, в НКРЯ примеров найти не удалось.
Главное различие слова с приставкой от другого слова, которое в предложении стоит после омонимичного приставке предлога, заключается в том, что между двумя словами всегда вставить третье, не изменив лексического значения, но наполнив высказывание дополнительной информацией:
За ведение дела Бубликову объявили выговор (остаётся лишь догадываться, где именно он наломал дров).За успешное ведение дела Кляксину объявили благодарность (было бы странно, если бы выговор получил и он).Попробуйте проделать тот же трюк с заведением типа университет, собес или кабак - оно перестанет быть таковым и превратится в нечто другое. В предложении не добавится никаких уточнений, но потеряются остатки смысла:
За/ведение закрыто на ремонт.Что именно закрыто - тайна, покрытая мраком, но закрыли его за то, что неведомое "оно" что-то вело. Неужели речь идёт о привидении Ивана Сусанина?! Неужели дух отважного крестьянина можно отремонтировать?!
Никогда не пишите на автопилоте. Всегда думайте над смыслом написанного.
                                                                              

Есть два слова - и оба они существительные - это "заведение" и "ведение". Эти существительные  среднего рода и второго склонения, единственного числа.
1.Первое слово означает - учреждение, организация. Например, высшее учебное заведение.  Это слово имеет приставку "за", которая пишется как любая приставка - слитно с корнем "вед" - "заведение". 
2.Второе слово "ведение" производное от глагола "вести". В данном случае "за" играет роль не приставки, а предлога винительного падеже - за что? - "за ведение". Предлоги всегда пишутся раздельно. 
Приведем пример предложения:
Учительница похвалила Наташу  за  ведение дневника.