Как правильно писать: бронежилет или бронижилет? Каким орфографическим правилом регламентируется?

Это сложное имя существительное, образованное сложением  части слова "броневой" и целого слова "жилет" с помощью интерфикса (соединительная гласная) "е". 
По правилам русского словообразования при таком способе используется "е", если  конечный согласный первой части мягкий, и "о" - если твёрдый.
Сравните: солерастворитель (л* - мягкий, соединительный  гласный "е"), дымоход (м-твёрдый, соединительный гласный - "о").
Верное написание запрашиваемого слова   - бронежилет (н* мягкий).
                                                                              

Это сложное слово, состоит из двух слов (корней) "броня" и "жилет". В таких ситуациях два корня (а возможно и больше, например в словах "самогоговарение", "тепловозостроение") соединяются с помощью соединительных гласных. В качестве таковых в русском языке используются только две : либо"о", либо "е". В данном случае "е".