Например, здесь написано, что правильно писать "цыбуля":
  ЦЫБУЛЯ ж. южн. зап. вообще растение лук, зеленый и репчатый. Цыбулястый орл. шишковатый, узловатый.
ссылка
Хотелось бы разобраться, как правильно: через И или через Ы. А может быть, такого слова в русском языке не существует?..

Понимаете, с точки зрения лингвистики, если вы сказали это слово, а другой носитель языка его понял - то такое слово есть, независимо от того, зафиксировано оно где-то в словарях или литературе или нет, является заимствованным или родным и так далее.
Поскольку слово редкое и диалектное, то встречаются оба варианта (как минимум, в существующих словарях), и серьёзной ошибкой не будет использовать ни тот, ни другой.
Но я бы рискнул сказать, что более предпочтительный вариант - через «ы», потому что все слова с «и», на самом деле, родом из латыни - cisterna, circus и так далее. Для русского языка слово «цыбуля» совершенно точно не относится к этой группе (как минимум, в плане восприятия), поэтому в народе всегда будет тенденция писать его по правилам «цыган, цыплёнок», то есть, через «ы». Ну а из таких тенденций, собственно, и вырастают правила и исключения их них.
                                                                              

Слово "цибуля" привнесено в русский язык из украинского и белорусского и означает лук. Произносится оно как "цыбуля", транскрипция слова. На этих языках оно пишется согласно их правилам. Например, в украинском написание выглядит так: "цибуля", произносится как "цыбуля", поскольку буква "и" на украинском соответствует букве "ы" на русском.По правилам русского языка после "ц" в корне пишется "и", а не "ы": цИбуля, цИгарка, цИфра, цИанистый, цИвилизация. А согласно словарю Даля, слово пишется через "ы": "цыбуля".

В русском языке нет такого слова. Это слово из украинского или белорусского языка. Применять к нему правила правописания из русского языка не стоит.  в белорусском языке цыбуля,
а в украинском языке цибуля.