Какой частью речи является слово "невольно"?
Примеры предложений со словом "невольно". 

Слово "невольно" отвечает на вопрос - как? или каким образом?.  Это слово - наречие, неизменяемая часть речи, которая в предложении, как правило поясняет сказуемое и является второстепенным членом предложения  - обстоятельством.
Также слово "невольно" - может быть и кратким прилагательным, среднего рода. Вопрос к краткому прилагательному - каково? Обе части речи-  и наречие, и краткое прилагательное "невольно" образованы от одного полного прилагательного - какой? - "невольный".
Значение слова "невольно" - случайно, непроизвольно, бессознательно, независимо от собственного желания.
Приведем примеры предложений со словом "невольно":
Марина невольно оглянулась, почувствовав не себе пристальный взгляд незнакомца.От вспышки яркого света   Алексей невольно на мгновение зажмурил глаза.Анна, чтобы не упасть,  невольно схватила Владимира за руку.

Слово "невольно" является наречием.
Примеры предложений с "невольно":
Он невольно улыбнулся, увидев ее.Волнение невольно начало брать верх над ним.Она невольно задержала дыхание, когда услышала неожиданную новость.Он невольно сморщился, почувствовав холодную воду.Они невольно подрались, несогласившись по поводу выбора фильма.Он невольно набрал номер.Она невольно растерялась, когда увидела свою идеальную пару.Он невольно засмеялся, услышав шутку.Он невольно начал увереннее выступать на публике.Она невольно ощутила грусть, глядя на старое фото.Они невольно стали главными героями этой истории.Она невольно стала обратить внимание на его комплименты.Он невольно почувствовал себя глупо.Он невольно замер от страха, услышав странный звук.Она невольно вздохнула, когда узнала приятную новость.