Как правильно писать/говорить приукрашая или приукрашивая?
Как разобрать слово по составу.
Что делая? приукраш-ая или приукраш-ивая

Дело в том, что речь идёт о двух разных глагольных формах, т.е. о двух деепричастиях, образованных от разных глаголов.
Нужно обязательно учесть, что некоторые программы по русскому языку  говорят о деепричастии не как о новом слове, а как о форме глагола.
Деепричастие настоящего времени "приукрашая" (что делая?) образуется от глагола "приукрашать" (что делать?): к основе глагола настоящего времени "приукраша-ет" добавляется суффикс " -я". Правда, здесь есть скрытый "й", поэтому в действительности суффикс " -я (-йа). В школьной традиции не принято вдаваться в такие тонкости, говорят просто о "-я".
Деепричастие "приукрашивая" (что делая?) образуется таким же способом, как и выше, но от другого глагола - "приукрашивать" (что делать?).
Следовательно, можно употреблять обе формы, напр., Он с восторгом рассказывал о поездке, красочно всё приукрашая/приукраши�вая.