Помогите решить Как правильно пишется навЕки или на векА? Какие примеры предложений?.

Существуют наречия "навеки" и "навек". Они практически тождественны, разницу может уловить только тонкий специалист, глубоко разбирающийся в проблемах стилистики и словоупотребления. Пишутся слитно.
А вот "на века" - это устойчивая форма, которая пишется в два слова. "На" - это предлог перед "века", который, в принципе, можно отодвинуть ещё дальше от слова каким-то определением, если такой приём понадобится методически. Например: "на долгие века". Эта форма насколько же верна, как и наречие "навеки". Её можно назвать "наречным выражением".
Заметную разницу между "навеки" и "на века" можно увидеть в том, что "навеки" звучит несколько возвышеннее, чем "на века". А наречное выражение "на века" мы заметим во многих стилистически демократичных текстах.
Предложения:
"Наши судьбы переплетены навеки". "Стол-то посмотри какой: на века срубленный, должно быть".