Помогите решить Какое единственное число у слова "пенаты"? Какой род слова?.

Для части слов со временем характерно изменение лексического значения, особенно для тех, что употребляются в составе идиоматических сочетаний. При этом происходит изменение грамматических свойств.
Это же относится и  к данному слову.
Действительно, его происхождение имеет древнегреческие корни, но употребляется оно исключительно в нарицательном образном смысле - родное место, родина, место учёбы. Это слово утратило прежнее значение и вместе с ним возможность изменяться по числам.
В современном русском языке слово "пенаты" употребляется только во множественном числе. Смотрим словарь Т. Егоровой
                                                                               

Единственное число "пенаты", ну, наверное, пенат, а как по-другому, если верить определению:
Если боги (обычно два), то один бог должен быть пенат. Хотя я, честно говоря, не слышал употребления этого слова в единственном числе. Ну и, исходя из определения "пенатов", нетрудно догадаться, что единственное число этого слова относится к мужскому роду.

Если исходить из того, что пенаты - это древнеримские боги, хранители и покровители домашнего очага, то, думаю, в единственном числе один такой бог будет пенат. Хотя минимум два пената (в виде статуэток) хранили домашний очаг.