Можно ли сказать "Лечить болезнь"? Интуитивно кажется, что можно, но в то же время думаю, что лечат людей. Или это слово применимо в обоих случаях?

Вспомнила анекдот. Ну он не совсем приличный, но если одно слово заменить, то можно...
Так вот, думаю, для диалогов такое выражение ещё уместно (если писатель хочет показать малограмотность героев). А вот для речи авторской - нет.
И уж тем более неуместно такое в публицистической и тем более научной статье. Лечить можно пациента или орган, который заболел - "лечить горло", "лечить желудок", "лечить зуб"... Можно говорить "лечить от болезни" -  например, "лечить от радикулита", "лечить от пародонтоза", "лечить от астмы"... Но не "лечить грипп", "лечить травму", "лечить ангину". Даже бывает, ляпают - "лечить глистов".