Какое правило написания слова "безмол(в)ствовать"?
Какое проверочное слово к слову "безмол(в)ствовать"?

Лучше всего у Александра Сергеевича- классика нашего спросить, в частности- обратиться к авторской ремарке, завершающую драму "Борис Годунов" "Народ безмолвствует", то есть, остается без молвы... молчит- одним словом.
                                                                              

Слово "безмол(в)ствовать" является неопределенной формой глагола и чтобы определить, как пишется "безмолВствовать" или "безмолствовать" - обратимся к правилам русского языка.
В данном случае имеются такие проверочные слова, как молВа, безмолВие. Здесь четко слышится буква "в", поэтому пишем правильно - безмолВствовать.
Несмотря на то, что годовую премию не выдали, бригада безмолвствовала.

Чтобы определить, как правильно написать слово безмолствовать или безмолвствовать, нужно подобрать проверочное слово. В данном случае это будут такие слова: безмолвие, молва. Соответственно, правильно будет написать слово Безмолвствовать с буквой "в" после буквы "л" в данном слове.

Безмолвствовать. Проверочное слово - молва, безмолвие.