Как правильно: усвоянный или усвоенный?
УсвоЕнный или усвоЯнный?
Какая часть речи?
Как объяснить правописание?

Правильно писать усвоенный.
Усвоенный – страдательное причастие прошедшего времени, образованное от переходного глагола усвоить (усвоил) путём присоединения к основе инфинитива (–усвои-) суффикса –енн- и окончания –ый. Так как основа -усвои- оканчивается на и, то в суффиксе пишется е (буква и усекается). Усво-енн-ый.
Алгоритм образования страдательных причастий прошедшего времени следующий:
1)  выбираем глагол, от которого нужно образовать страдательное причастие прошедшего времени (усвоить, усвоил);
2)  убеждаемся в том, что данный глагол является переходным (что сделать? – усвоить, что сделал? - усвоил);
3)  ставим глагол в форму инфинитива (что сделать? – усвоить)
4)  отбрасываем формообразующий –ть (получаем основу –усвои-);
5)  прибавляем к основе суффикс (–усвои- + суффикс –енн-, т.к. усвоить – глагол на –ить и основа –усвои- оканчивается на и)
6)  присоединяем нужное окончание (-ый);
7)  получаем страдательное причастие прошедшего времени (усвоенный).