Какой правильный падеж? Как правильно возвести в нужную форму? Как пишется - не допустить (что?) или (чего-то)? Какой вопрос?

Отметим, что в вопросе идет об отрицании. Сам глагол допустить ( в утвердительной форме ) управляет Винительным падежом зависимого от него существительного или местоимения. При отрицании у многих глаголов допустимы две формы: Родительного и Винительного падежей. При этом одна из них в конкретной ситуации бывает предпочтительнее.
Контекста в вопросе нет, есть просто глагол. Мы не знаем, каким именно существительным ( зависимым словом ) он управляет. Поэтому возможны варианты:
Родительный падеж лучше,
если это местоимение: не допустить его,если существительное с отвлеченным значением: не допустить мысли,если есть союз ни ... ни: не допустить ни восстания, ни революции,при наличии частицы даже: не допускать даже тени сомнения.Форма Винительного падежа предпочтительнее,
если после существительного идет придаточная часть, начинающаяся с который: не допускать ситуацию, которая может иметь неприятные последствия,если при данном глаголе не одно зависимое слово, а, например, два: не допускать панику при пожаре,если имя собственное или одушевленное: не допускать посла,в ряде других случаев.