Помогите решить Квадрат или кводрат? Как правильно? Почему? Как проверить? Какое правило?.

Безусловно, только один из вариантов в вопросе является корректным, а вот объяснить выбор гласной можно по-разному.
Данное существительное состоит из корня -кв*др-, суффикса -ат- и нулевого окончания.
Таким образом мы имеем дело сбезударной гласной в корне. В современном русском языке нет такого слова ( однокоренного или словоформы ), в котором гласная, вызывающая сомнение попадает под ударение. Поэтому гласная считается непроверяемой ударением, а слово - словарным ( написание закреплено в орфографических словарях нашего языка ).
Если обратиться к этимологии названия прямоугольника, у которого все стороны равны, можно понять, почему пишется именно а, а не о ( квадрат ).
Название данной геометрической фигуры пришло из латыни в 17 веке ( от латинского quattuor - 4 ).