Как пишутся?
Правописание сложных предлогов.
Как правильно?
Приведите примеры.

Это сложные предлоги, которые надо писать через дефис. Они бывают разные, не только из-под, по-под.
Образуются сложн.предлоги из соединения простых, а между ними ставится дефис.
Примеры в предложениях:
Сначала Васька прятался по-за диваном, но почуяв приближения собаки исчез.
Собаке было за-ради удовольствия гонять кота.
Из-за дивана выскочил взъерошенный Васька.
Теперь наш котофей уже выглядывал из-под шкафа.
Четыре сложн.предлога я использовала для примера, но есть и другие: для-ради, по-под, с-под, на-над, по-над.
Каждый предлог может жить самостоятельно: из, за, под, по, на, для, ради, с, над .
Почему-то они соединились, и таким образом применяются — эти сложные предлоги, многие из которых устарели и сейчас уже не употребляются. Может быть остались в просторечие где-нибудь в глубинке.
Но остались предлоги: из-под, из-за .
Примеры:
Это из-за тебя вода капала из-под крана всю ночь, в следующий раз получше закрывай кран.
Фокусник виртуозно вынул карту из-за пазухи пиджака зрителя, при этом сумел прямо из-под носа забрать у него бумажник.
                                                                              

Бывает, что некоторые из предлогов соединяются парами. Образуемые ими соединения называются сложными предлогами.
И пишутся такие сложные предлоги через дефис (с чёрточкой).
1) Предлог из-под может обозначать направление действия откуда-нибудь снизу, а также может указывать на назначение
предмета, в котором помещается что-либо.
Например.
Анастасия очень испугалась, когда из-под двери раздались жалобные стоны.
Из-под лавочки у завалинки выползла большая лохматая собака.
Хозяйке оставалось вымыть фужеры из-под шампанского, но вдруг кончилась вода.
Бабушка каждый день сушила крынки из-под молока на заборе.
Есть еще фразеологический оборот  с таким предлогом -- из-под палки. Он употребляется по отношению к человеку, который что-либо делает не по своей доброй воле, а по принуждению, из боязни, страха наказания.
Например.
Никак не приучили ребенка самостоятельно делать уроки, все только из-под палки.
Часто можно услышать в разговоре  выражение, что что-то у человека из-под самого носа что-то  увели. Это тоже фразеологическое выражение, просторечное, употребляется, когда что-то пропадает буквально на глазах.
Воришка ловко стащил яблоко из-под носу у бабушки .
2) Предлог по-под устаревший. Имеет значение действия "вдоль и под чем-нибудь".
В марте у нас выпало так много снега, но было тепло, так что по-под снегом ручьи побежали.