Как это решить Сколько корней в слове «автомотоспорт»?.

Это имя существительное сложное. Образовано оно из словосочетания с тремя элементами (два из которых однородны) - автомобильный (и) мотоциклетный спорт.
Первое слово содержит часть "авто-", являющуюся не только составной многих сложных слов (автопилот, авторучка, автопарк и т.д.), но и само по себе кратко называющее автомобиль в иностранных языках (напр., в немецком - Das Auto).
Из сложения слов, входящих в словосочетание, без соединительных гласных, не ранее второй половины прошлого века образовалось сложное, состоящее из трёх корней - авто/мото/спорт/.