Как это решить Как правильно: живем или живьем?.

И так и так правильно, но, в зависимости от контекста.
Не будем углубляться в правила, достаточно будет примеров.
Один раз живем. Живем, что делаем? Происходить от слова жить.
Съел живьем. Съел как? Происходит от слова живой. Живого съели.
                                                                              

Эти слова относятся к разным частям речи и оба правильные:
живём - глагол в настоящем времени,живьём - наречие.Живём и живьём применяются в разных ситуациях: "карп пойман живьём" и "мы хорошо живём".