Какие правила написания этого слова: с одним "н" или с двумя "нн"?

Безусловно: с-вяза-НН-ый.
Почему?
Это страдательное причастие прошедшего времени(какой?). Образовано от глагола связать с помощью суффиксов страд. причастий прош. времени: НН, ЕНН, ЁНН. Одно Н пишется только в кратких стр.  причастиях прош. вр.: связн(каков?). Обращать нужно внимание на вопрос.
Просто нужно помнить, что если в слове нет приставки, значит, это отглагольное прилагательное и пишется с Н: вязаный.
Гружёный - нагруженный
печёный  - испечённый
сеяный   - засеянный
Исключение: смышлёный, названый
                                                                              

Слово «связан(н)ый» - может быть как отглагольным прилагательным, так и страдательным причастием, прошедшего времени. Это  слово образовано от глагола совершенного  вида - «связать».
Такие причастия (и отглагольные прилагательные) по правилам орфографии следует писать с двумя «НН» - «связанный». В дополнение к сказанному добавим, что слово «связанный» имеет приставку, что лишний раз доказывает, что его следует писать с удвоенным «НН».
Заметим, что слово «вязаный» пишется с одним «Н», так как оно образовано от бесприставочного глагола несовершенного вида – «вязать».
Приведем примеры предложений (для сравнения):
Не забудь взять в дорогу  вязаный кардиган в белую полоску. Связанные мамой носки из грубой шерсти оказались очень теплыми.