• Приведите также примеры предложений, где можно его правильно применять?

*Не путайте с суффиксом ан.

Слово написано со строчной/маленькой буквы, значит собственное существительное АН исключаем.
Происхождение и значение связывается лингвистами с разговорными словами.
Например, в словаре В. Даля мы узнаём о тождестве диалектных союзов "аже, ажно, инно" с данным словом.
В современном русском языке коротенькое "ан" может быть и союзом, и частицей. Употребляется в неофициальной обстановке, т.е. имеет просторечную окраску.
Союз "ан" в значении "но" обозначает неожиданность действия, решения, например, Хотел точно сделать, ан/но передумал!
Частица в сочетании со словом "нет", усиливает значение сказанного, напр., Собралась огурцы сегодня садить. Ан нет, холодно стало.