Как следует писать правильно в тетраде или тетради? "И" или "Е"?

Речь идёт о падежном изменении  имени существительного женского рода третьего склонения "тетрадь" (что?).
При склонении это слово в предложном падеже (падежный вопрос - в чём? смысловой - где?) имеет окончание "-и", напр., задание написано в тетради (где? в чём?).
Вся падежная парадигма/набор падежных форм/ в форме ед-го числа такова:
И = В (неодушевлённое, падежи совпадают) тетрадь
Р.= Д.= П. (совпадают) нет чего?/дать чему?/писать в чём?/ (в) тетради
Тв. тетрадью
                                                                              

Я не знаю, что в головах у тех людей, кто пишет в тетраде о том, как спали в постеле, но глаза режет от такого написания ужасно просто. Конечно, окончание и в том, и в другом случае должно быть И, а не Е.

Данное нам существительное "тетрадь" имеет третье склонение и находится в предложном падеже (в чём?;
Существительные третьего склонения в единственном числе и предложном падеже заканчиваются на "И";
Следовательно правильно следует писать- "в тедрадИ".

«Тетрадь» - имя существительное женского рода, с мягким знаком на конце, значит, относится к третьему склонению.
В чем? в тетрад* - предложный падеж, имена существительные 3-го склонения в предложном падеже имеют только окончание «и», без вариантов.
Окончание «е» в предложном падеже может быть только у существительных 1-го и 2-го склонения.
Ответ: в тетради.
Пишу в тетради.

Разберемся, что за орфограмма, о которой задан вопрос.
Тетрадь, тетради, тетрадью.
У нас вызывает сомнение правописание безударной гласной в окончании слова.
Данное слово ( в начальной форме тетрадь ) называет предмет и отвечает на вопрос что?, значит, является существительным. Это имя существительное женского рода с нулевым окончанием, на конце мягкий знак, следовательно, относится к третьему типу склонения.
Простой предлог в употребляется как с Винительным падежом ( верить во что? в прогресс ), так и с Предложным падежом.
В нашем случае падеж Предложный ( в чем? ). Существительные третьего склонения в форме Предложного падежа единственного числа имеют окончание -и.
Правильно пишется в тетради.
Запиши этот пример в тетради, пожалуйста.

В нашем  вопросе рядом со словом. в котором нужно определить правильное написание окончания, указан предлог.
Именно с помощью предлога мы можем понять, в каком падеже это слово находится.
Конечно,  для этого нам нужно задать вопрос и выяснить, что данное слово - "тетрадь" является существительным.
Теперь посмотрим, на какой вопрос отвечает заданная  форма: В чём?
Получается, что это слово стоит в предложном падеже, а из правила русского языка понятно, что в предложном падеже следует писать окончание -и.
Значит, правильное написание будет: в тетради.
Пример предложения.
В тетради было всего 18 страниц и они очень быстро закончились.
В моей тетради всегда все записи выполнены аккуратно и красиво.

С предлогами слово "тетрадь" употребляется только в одной форме: "тетради", с окончанием "И". Иногда кажется, что надо ставить на конце "е", так как "тетрадь" - женского рода. Но это ошибка: тут возможно только окончание "и", без вариантов. Если сомневаетесь - пишите другую форму: "в тетрадке". Тут уже на слух хорошо заметно окончание.
Примеры:
В тетради лежала забытая засушенная роза.
В тетрадке были засушены цветы.
Учитель сказал, чтобы мы записали в рабочей тетради его имя.
Учительница написала на доске тему, и я записал её в рабочей тетрадке.
На тетради было написано имя ученика.
На тетрадке красовалась клякса.
НО:
Я сложил в портфель тетради.
На столе лежали тетрадки.

Окончание данного существительного можно писать с буквой "и" и никак иначе. Нет в правописании слова тетрадь на конце буквы "е". По правилам русского языка, обычно окончание у имён существительных определяется не только падежом, но и в каком смысловом значении оно стоит.
Давайте рассмотрим на примере.
У меня в тетради написано домашнее задание. Написано "в чём?" - пишется буква "и". Падеж предложный.
У меня нет тетради. (Нет чего? - родительный падеж).
Я пишу в тетради.
Вот так будет выглядеть слово "тетрадь", если мы его просклоняем по падежам.
Теперь мы ничуть не сомневаемся в правильном написании окончания данного слова. 

При написании этого слова избежать ошибок позволит склонения существительных согласно  правилам. Их следует знать. Определяем склонение этого существительного - Тетрадь. Оно относится к 3 скл., поскольку оканчивается на «ь», и оно ж.р. При этом по правилам окончание -е не применяется. Следовательно, правильно писать нужно: в тетрадИ. Пример: В моей тетради нет ни одной ошибки.

Ни в одной из падежных форм нет окончания "е" в этом слове, поэтому пишите только "тетради" с "и" на конце.
Здесь предложный падеж (в чем?), многих может смутить вопрос "где?", который более логичен по смыслу.