Есть пример. Он признаёт прогресс своего соперника(,) и что его опыт поспособствовал этому. Лично я думаю,что в жанном случае "признаёт" является общим членом у двух основ. Поэтому запятую не ставим. Правильно ли это?

Важно знать, что грамматическая структура предложения (то есть то, как оно построено) определяет и наличие/отсутствие знаков препинания.
Прежде всего - это предложение содержит ошибку, исправление которой снимет вопрос и о пунктуации. Пропущено (сознательно или неосознанно) указательное слово "то" перед потенциальным придаточным. Подставим пропуск и получим сложное предложение с сочинительной и подчинительной связью. Вот так оно должно выглядеть в исправленном виде:
В неисправленном виде знаки препинания не нужны, т.к. условий для них нет.
Предложение (повторяю - ошибочное по структуре) является простым, а союз "и" соединяет однородные дополнения, относящиеся к сказуемому "признаёт" (что?) - прогресс и полностью часть после союза (что?) -
Эта часть имеет полностью предметное значение.
Слово "что" лишено своих синтаксических функций союза.
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Мне кажется, что не нужна.
Формально можно представить структуру предложения как: "Он признаёт один факт и другой факт".
Вот если бы после союза «и» было бы вставлено слово «то», то между «то» и «что» нужна была бы запятая. Но никак не перед «и»:
Он признаёт прогресс своего соперника и то, что его опыт поспособствовал этому.

Здесь сложноподчинённое предложение, поэтому запятая, скорее всего, нужна. Он признаёт прогресс своего соперника и, что его опыт поспособствовал этому. Ну а вообще, предложение изначально составлено неправильно, отсюда такой вопрос. Правильно было бы: Он признаёт прогресс своего соперника и то, что его опыт поспособствовал этому. Или: Он признаёт, что у его соперника имеется прогресс и что его опыт поспособствовал этому.

Он признаёт. Опыт поспособствовал. Я считаю, что в этом случая запятая как раз нужна, так как это - сложное предложение, имеющее две грамматические основы. Однако, готов выслушать и другие варианты, на тот случай, если я неправ.