Как будет правильно: ослиный или ослинный?
С одной Н или с двумя НН?
Какое правило русского языка здесь работатет?
Какая это часть речи?

Заданное слово обозначает признак предмета, отвечая на вопрос "какой?"
Это имя прилагательное и  образовано оно  от существительного " осёл" при помощи суффикса "-ин-".
В основной своей массе при помощи этого суффикса образуются прилагательные от названий птиц, животных и вообще прочей живности. И правильно писать такие прилагательные с одной буковкой "н" в суффиксе: лебедь - лебединый, шмель - шмелиный, журавль - журавлиный, лошадь - лошадиный,  кенгуру - кенгуриный, муравей - муравьиный, блоха - блошиный.
Вот и заданное прилагательное, образованное от существительного "осёл",  правильно писать с одной "н" в суффиксе -- ослиный.
Многие люди пишут такие прилагательные с двумя "н", очевидно, потому что при произношении протягивают звук [н] словно это двойной звук. Этого делать не стоит, тогда правильное произношение само собой подтолкнет к правилу о правописании суффикса "-ин-" с одной буковкой "н".
На фотографии мальчик пририсовал своему товарищу ослиные уши.
                                                                              

Слово, о котором Вы спрашиваете, правильно писать в соответствии с первым предположенным Вами вариантом - ослиный. Это относительное прилагательное. А всё потому, что в прилагательных, образованных от существительных с помощью суффикса -ин-, правильно писать одну Н.