Какое правило?
Правильно Дублируются или Дублируються?
Какая часть речи?

Все перечисленные в вопросе слова отвечают на глагольные вопросы, при этом называют они действия. Следовательно, речь идёт о правописании глаголов.
Нужен мягкий знак перед возвратным постфиксом -ся или нет?
Можно запомнить простейшее правило:
ь после т перед -ся не ставится, если его нет в вопросе к данной форме глагола, если есть, то и форму тоже ставим.
Что делает? ( ь нет ), значит, правильно дублируется.
Что делать? ( есть ь ), поэтому пишем с мягким знаком дублироваться.
Они что делают? дублируются.
Информация дублируется во многих источниках.
Если задания будут дублироваться, придется поменять карточки.
Как правило, вопросы в экзаменационных билетах не дублируются, на моей памяти так получилось впервые.