По щучьему или по-щучьему веленью, как правильно писать?
Почему так?

В данном случае по щучьему велению пишется раздельно, так как в этом словосочетании щучьему является прилагательным. (по велению какому? щучьему). Если же является наречием в предложении, то пишется через дефис: например, я плаваю (как?) по-щучьи. По аналогии другой пример. По нашему городу прокатилась волна митингов. (Нашему - прилагательное, по городу какому? нашему). Или вот это по-нашему! (Как? по-нашему, наречие).
                                                                              

Насколько я понимаю, вопрос относится к написанию прилагательного с предлогом в словосочетании "по щучьему велению". Да, это именно словосочетании с типом связи, именуемым "согласование".
Во-первых, в этой связке предлог "по" относится к существительному, с которым и согласуется прилагательное "щучий", его можно переставить на другое местечко, например, написать "по велению щучьему", от чего никоим образом не поменяется смысл сочетания.
Во-вторых, между предлогом и прилагательным можно всегда вставить дополнительно другие определения, например: по первому щучьему велению, по единственному щучьему велению, по твоему  щучьему велению.
И  эти аргументы должны убедить любого писать в заданном словосочетании раздельно  "по щучьему ...".
Ну а написание слова через дефис (по-щучьи) правильно к случаю образования из прилагательного "щучий" наречия, которое относится к глаголу, отвечая на вопрос "как?" (отжиматься по-щучьи (с упором в стену)).

Возможны оба варианта написания словосочетания «по щучьему», в зависимости от того каким членом предложения это выражение является.
Если, как в приведённом примере « по щучьему велению», то правильно писать раздельно.
Это прилагательное с предлогом. Велению какому?-щучьему.
Если в предложение словосочетание «по-щучьему» отвечает на вопрос как? и является наречием, то правильно писать через дефис. Наречия, имеющие предлог, который перешёл в приставку, образованные от полных прилагательных и имеющие окончания ому, ему правильно писать через дефис.
Рыбку поймал маленькую, но она была по-щучьему зубастая и верткая, перекусила леску и уплыла вглубь.

У меня в книжке написано раздельно "По щучьему веленью". Чтобы понять, когда писать раздельно, а когда через дефис, нужно определить, какая это часть речи. Если это прилагательное, как в данном случае, то пишется раздельно. Прилагательное отвечает на вопросы: какой, какая, какое, какие. По какому веленью, по щучьему. Обычно после прилагательного стоит существительное. Если бы здесь стоял вопрос как, то это было бы наречие. Укусить как, по-щучьи.