Как следует писать правильно по рабочему или по-рабочему, раздельно или через дефис?

В данном случае для определенного ответа на вопрос необходим контекст. Это связано с тем, что в конкретном предложении (по)рабочему может выступать в разных ролях.
По ( какому? ) рабочему поселку шахтеров пустили новый маршрут автобуса, теперь людям удобно добираться до поликлиники и автовокзала.
По ( кому? ) рабочему было видно, что он очень устал и не хочет общаться.
В первом из приведенных выше примеров у нас сочетание предлог по + прилагательное рабочий в форме Дательного падежа. Предлоги со словами пишутся отдельно.
Во втором примере мы имеем сочетание предлога по и субстантивированного прилагательного ( стало существительным ) рабочий в форме Д.п.
Если же (по)рабочему отвечает отвечает на вопрос как?, оно является наречием. А наречия на -ому/-ему с по- пишутся через дефис.
Одет наш новый знакомый был ( как? каким образом? ) по-рабочему.