Как решить Оплатить по карте - можно ли так говорить?.

Глагол "оплатить" переходный, т.е. он не употребляется с предлогами, управляет либо винительным (что? оплатить проезд), либо творительным падежом (чем? оплатить наличными).
Следовательно, верный вариант беспредложный - оплатить (чем?) картой.
Употребление при этом глаголе  предлога  "по" в современном русском языке считается пока грамматической ошибкой.
                                                                              

Нет, так говорить нельзя. К слову оплатить можно поставить вопрос таким образом:
оплатить что? - оплатить товар, оплатить покупку.
оплатить чем? - оплатить деньгами, оплатить наличными, оплатить картой.

Да, так говорить, конечно же, можно и нужно.
Более того, выражение "оплатить по карте" используется очень часто и повсюду распространенное.
Это короткое выражение, заменяющее длинное словосочетание "оплатить с помощью карты".