В каких случаях союз или союзное слово в предложении можно опустить?
Примеры предложений?

Ну, например, почти в любом сложноподчинённом предложении можно убрать союз, сделав его бессоюзным, причем смысл в большинстве случаев теряться не будет
Мальчик катался на велосипеде, а мать зорко следила за ним. Убираем "а" и получаем:
Мальчик катался на велосипеде, мать зорко следила за ним.