Какая часть речи?
Как написать Приближаются или Приближаються?
Какое правило?

Здесь в вашем вопросе даны несколько вариантов написания глагола, давайте разбираться.
Чтобы выяснить, нужна ли запятая в глаголе, просто возьмите и задайте к нему вопрос, появился в вопросе мягкий знак - значит, быть ему и в глаголе.
Теперь смотрим на первую пару примеров.
Задаем вопрос "Что делать?" - приближаться, значит, мягкий знак нужен и выберем второй вариант, он правильный.
Во второй паре подходящим вопросом будет этот: "Что делает?" - приближается. Значит, мягкий знак лишний и правильным станет написание в первом варианте.
Новый год приближается и мы все уже начали к нему готовиться (что делать?).
                                                                              

Можно легко проверить вопросом к этому слову: приближаться (что делать?) приближаться, если вопрос заканчивается на мягкий знак значит там мягкий знак употребляется если нет значит наоборот, со словом приближается так же - приближается (что делает?) приближается, всё не так сложно