Как следует писать правильно не секунды или ни секунды?
Какой предлог следует писать "не" или "ни"?

Частица "не" в сочетании с существительным "секунда" придает отрицательный смысл слову. Противопоставление с союзом "а"  - верный признак того, что следует писать  частицу "не" в сочетании.
Например, в предложениях:
Новые часы в комнате показывали не секунды,  а только часы и минуты.Не секунды надо было считать, а действовать. Частица "ни" с существительным "секунда" усиливает отрицание. В таких предложениях обычно  уже есть отрицательное сказуемое или другие отрицательные слова (частицы или местоимения).
примеры предложений: 
Я не сомневался ни секунды, что ты придешь мне на помощь. Не медля ни секунды, Аглая побежала в аптеку за лекарством. У меня нет ни секунды времени.                                                                               

Здесь все будет зависеть от смысла словосочетания, ведь благодаря этим предлогам становится понятно сразу, что именно хочет сказать их автор.
Если говорить о том, что, например, не секунды займет это дело, а часы, то пишем предлог не, потому что мы отрицаем секунды, "не они" имеем ввиду.
Если же мы имеем виду все-таки секунды, то пишем предлог ни, например, ни секунды тишины, то есть ни одной секунды нет.
Еще примеры предложений.
Когда Сеня подрос, он понял, что средняя толстая стрелка в часах отмеряла не секунды, а минуты.
Заведя котят, бабушка поняла, что теперь у нее ни секунды покоя, всем нужны внимание, уход, забота.