Вместе или раздельно пишется слово "(в)век"?
Какие правила написания?

Написание многих слов в русском языке нередко зависит от их морфологической принадлежности (принадлежности к определённой части речи).
Относительно вопроса: можно говорить  и об имени существительном, и о наречии.
В век - пишем раздельно, если это имя сущ-е "век" (что?) с предлогом "в" в форме винительного падежа единственного числа, напр., В век (во что? когда) современных технологий пора бы научиться эффективно бороться против инфекций. В данном случае действует общеее  правило - предлоги с сущ-ми пишутся раздельно.
Ввек - пишем слитно, т.к. это наречие (чаще разговорное, синоним к "никогда"),  образованное слиянием застывшей формы сущ-го с предлогом (в наречии предлог становится приставкой), напр., Ввек (когда?) не забуду твоей доброты. Как варианты - формы "вовек" и "вовеки".
Правило, которого нужно придерживаться, цитирую из академического справочника В. Лопатина: 
                                                                              

Примеры предложений, в которых приведены разные части речи: сочетание "в век", которое стоит с предложной форме, и наречие "ввек":
В век современных технологий люди стали меньше читать книги. Из века в век поэты воспевают красоту природы. Ввек тебя я не забуду. Ввек буду помнить твою доброту. В первых двух предложения слово "в век" - существительное в предложной форме (в винительном падеже - во что? - "в век"). Между предлогом и сущесвительным можно поставить, как видим,  вопрос или определяющее. Пишем раздельно, как предлог с сущесвительным.
В следующих двух предложения "ввек" - это наречие времени, оно отвечает на вопрос - когда? Наречие пишется слитно. Приставка слилась с неизменяемой формой существительного "век".