Как решить Отчаелся, отчаился или отчаялся – как правильно?.

Слово "отчая(...)лся" - это глагол прошедшего времени, мужского рода, единственного числа.
Для определения, какая гласная пишется перед суффиксом "-л-", надо обязательно поставить глагол в начальную (неопределенную) форму - что сделать? - "отчаяться". Этот глагол образован от глагола "чаять", который пишется с суффиксом "-я-". Он является  одним из 16 глаголов на "-ять", написание которых надо запомнить (сеять, веять, лелеять и т. д. ).
А дальше воспользуемся следующим правилом орфографии. В глаголах прошедшего времени перед суффиксом "-л-" пишется та гласная, которая стоит в глаголе неопределенной формы перед "-ть". Например: "видеть - видел", "лелеять  - лелеял", "бросить - бросил".
Поэтому пишем глагол в прошедшем времени с суффиксом "-я-" - "отчаялся".
Например, в предложении:
Сергей совсем отчаялся, когда получил тройку по математике.                                                                                

Слово, связанное с ощущение безнадежности и невозможность что-либо изменить в положительную сторону, произошло от старого слова "чаять" со значением "ждать". Данное слово сейчас употребляется довольно редко, например, в выражении "я уж и не чаял...". Слово "чаять" везде и всегда писалось через Я, и производные от него слова не являются исключением. Так что в данном случае глагол следует употреблять с Я, то есть "отчаялся".