Как это решить Как просклонять фамилию "Корень"?.

Для женского рода фамилия не склоняется по падежам.
Для мужского рода фамилия будет склоняться таким образом:
Именительный: Корень Анатолий Титомирович
Родительный: Корня Анатолия Титомировича
Дательный: Корню Анатолию Титомировичу
Винительный: Корня Анатолия Титомировича
Творительный: Корнем Анатолием Титомировичем
Предложный: Корне Анатолии Титомировиче.