Как правильно пишется: "удостоиваться" или "удостаиваться"?
Как пишется: "удостоивая" или "удостаивая"?
Есть ли проверочное слово?

               Обе формы этого глагола с разными (ударными!) гласными в корне слова могут употребляться в речи.
Это параллельные равнозначные варианты, как считают многие лингвисты. И все-таки в современном русском языке  глагол "удостаивать" фиксируется в словарях и считается литературным, а второй вариант произношения глагола с "о" относится к устаревшим, но повторюсь, его можно использовать как разговорное.
Проверочных слов нет, нужно обращаться к орфографическим словарям, где обычно  приводятся варианты общеупотребительные, а не разговорные и устаревшие.
Чередование гласных "о" и "а" появилось и осталось в русском языке еще с тех древних времен развития индоевропейских языков, когда было  разделение гласных на долгие и краткие. Оно заменило такое разделение гласных на современное произношение с чередованием этих гласных.
Примером использования параллельных равнозначных вариантов с гласными  "а" и "о" могут служить глаголы  "рассредоточивать – рассредотачивать", "обусловливать - обуславливать", "уполномочивать - уполномачивать".
Девушка не пожелала удостаивать его своим вниманием.