Мы хотели поехать за город, но дождь стал сильнее и погода испортилась окончательно.
Союз И соединяет простые предложения в составе сложного, но нужна ли запятая перед ним?

Запятая перед сочинительным союзом "И" чаще всего ставится в 2-х случаях:
При наличии повторяющегося союза "И" при однородных членах предложения. Например: И дети, и взрослые будут рады такому подарку. (Однородные члены - дети, взрослые, союз "И" является повторяющимся.)В сложных предложениях с сочинительной связью. Например: Метель замела дорогу, и нам пришлось остаться дома. (Первое простое предложение в составе сложного - "Метель замела дорогу", второе простое предложение - "нам пришлось остаться дома". Связь - сочинительная.)Как вы правильно заметили, в вашем примере союз "И" соединяет простые предложения в составе сложного. Это как раз таки относится ко второму случаю, описанному выше. То есть, запятая ставится ОБЯЗАТЕЛЬНО.
Таким образом, правильное написание данного предложения следующее: Мы хотели поехать за город, но дождь стал сильнее, и погода испортилась окончательно.

               Я почитала Ваш комментарий, действительно, логика в нем есть. Можно подумать, что союз НО является общим для обоих предложений (как общий второстепенный член), тогда запятую не стоит вроде бы ставить. А если все-таки вдуматься в смысл предложения: мы хотели поехать за город, но дождь стал сильнее. А третья часть присоединяется уже ко всему остальному предложению: и вследствие этого погода испортилась. Все-таки союз НО, на мой взгляд, относится только ко второй части: но дождь стал сильнее, поэтому запятая перед И нужна.
Мы хотели поехать за город, но дождь стал сильнее, и погода испортилась окончательно.