Как правильно пишется: "по фински", "по-фински"?
Как пишется: "по финскому" или "по-финскому"?
Когда пишется "по финскому" и когда "по-фински"?
"По-фински" писать с дефисом?
"По финскому" писать раздельно?

Выбор между 4 вариантами - "по-фински", "по финскому", "по фински" и "по-финскому" - производится таким образом:
1) "По-фински" - правильно. Слово "по-фински" - это наречие. Означает оно "как у финнов, на финском языке, как в Финляндии". Например: "Она давно разговаривала по-фински".
2) "По фински" - неправильный вариант. "По-фински" писать правильнее.
3) "По-финскому" - некорректный вариант. "По-фински" писать правильнее.
4) "По финскому" - правильно. Например: "Они захотели погулять по финскому городу". Сочетание "по финскому" - это имя прилагательное "финский" с предлогом "по". "Сочетание "по финскому" пишется раздельно.