Как правильно пишется: "юг Украины" или "Юг Украины"?
Как пишется: "юго-восток Украины" или "Юго-Восток Украины"?

Исходить при написании нужно из того, в каком сочетания "юг Украины" и "юго-восток Украины" находятся в контексте. Оба сочетания - это не названия государств, не единицы административного или территориального устройства, а обозначения географической расположенности того или иного участка по отношению к другим участкам. Напомню, что и слово "юг", и слово "юго-восток" (как и, например, слово "запад") пишутся в этом смысле со строчных букв.
Если же контексту придаётся другое семантическое направление - "воображаемые или существующие макрорегионы с предложенными наименованиями" - то "Юг" и "Юго-Восток" пишут с заглавных букв. Такое написание (с прописными) в русском языке встречается реже.