Как думаете, есть ли что-то общее между словами "печать", "печень" и "печаль"? Они похожи по звучанию, может, есть что-то одинаковое и в значении?

В этимологическом словаре Макса Фасмера все эти три слова так или иначе связаны со словом "печь" (глагол).
Самым удивительным было обнаружить среди них печать. Оказывается, оно восходит к слову пеку́, что было орудием для выжигания знака. Оно делалось из дерева, металла или камня и при помощи этого предмета оставляли оттиск на поверхности. Некоторые утверждают, что первоначально печатью оставляли тавро на шкуре животного.
Помимо этого, есть и вторая версия: печатью называли рисунки, выжженные на камне.
Что касается, печень, то этимология этого слова более-менее коррелируется с печкой и пеклом.
Словарь Ушакова говорит следующее:
Печаль - это то, что печёт, жжёт душу и сердце. Приблизительно такая связь.
Словарь Крылова говорит, что было ранее такое слово "печа" - забота (отсюда попечительство или беспечный). А печа и пека, в свою очередь, в современном русском языке звучат как "жар" и "зной". Вот печаль и жжёт.
                                                                              

Вот сидишь такой в печали,
Наливаешь внутрь сто грамм.
Печень тут же  отвечает,
Делит горе пополам.
Вот мы с печенью в печали,
Печать грусти на челе.
Третьим будешь? Наливаем!
Нет - печали на Земле!
Так что кое-что, конечно, связано, но, что касаемо этимологии, боюсь, лингвистика умалчивает. Наверное, всё-таки нет.

Еще есть созвучное с ними слово-слово печь.
У них общий корень-печ.
Видимо эти слова идут из далекого слова огонь.На огне все запекалось,пеклось,а до этого на солнце.И вот когда перепекется что нибудь ,Печаль то печаль возникает.Печаль долго заживает,потому ожоги после перепекания остаются.В печени тоже интересные процессы происходят.Там кровь как будто через печь прогоняется и очищается и весь шлак в печи остается.Вот в этом их думаю общее.