. написа(н,нн)ое сочинение.
Какое правило?

Сложность написания этих слов состоит в том, что правильно будет и с одним "н", и с двумя "нн", но все зависит от того, какой частью предложения (в каком качестве) данное слово выступает.
В основе слова "продума(Н, НН)о лежит глагол:
продумать - продуманно - продумано.Есть такое правило (Д.Э. Розенталь "Русский язык"):
Применяя правило, получаем такие варианты:
Решение продумано до мелочей (краткое страдательное причастие в прошедшем времени, пишется одно "Н").Но в этом случае мы писали бы два "НН":
Заранее продуманное решение помогло выйти из сложной ситуации (полное страдательное причастие в прошедшем времени).**
Слово "воспитаны" (что сделаны? - это краткое страдательное причастие) пишем с одной "Н":
Дети были воспитаны патриотами.Но это не наш вариант. В заданном в вопросе случае мы имеем краткие прилагательные: дети (какие? каковы?) - "воспитанны и умны" (от прилагательных "воспитанные и умные").
Следовательно, писать краткое прилагательное мы должны с сохранением двух "НН":
В этой школе дети были воспитанны и умны.**
О написанном сочинении. В случае, что это страдательное причастие в прошедшем времени, в слове нужно писать удвоенную "Н":
**
Можно применить правило (Д.Э. Розенталь, там же):
                                                                              

Решение продумано(что сделано?)
Продумано - краткое страдательное причастие прошедшего времени, которое играет роль сказуемого.
В кратких страдательных причастиях пишется одно н.
Дети воспитанны и умны.
В данном случае - это краткие прилагательные (воспитанные и умные), в которых пишем столько н, сколько в полном прилагательном, от которого они образованы.
Написанное сочинение.
Прилагательное образовано от глагола с приставкой (написать), в которых пишется два н.

В словосочетании "написанное сочинение" в страдательном причастии необходимо писать два "н".
Также два "н"  нужно писать в кратком прилагательном "воспитанны", которое используется в примере "дети воспитанны и умны".
В третьем случае нужно писать одно "н", здесь "продумано" в роли краткого страдательного причастия- "решение продумано".