К какой части речи относится слово Чайная?

Принадлежность слова к какой-либо части речи определяется по вопросу, который ставят к нему, а это возможно лишь в контексте, то бишь в окружении других слов, связанных с ним (в предложении).
Один из способов словообразования называется так: переход из одной части речи в другую. Слово "чайная" как раз может проиллюстрировать этот процесс. С лексическим значением небольшой столовой-закусочной, в которой можно заказать чай и что-то к нему, это слово может употребляться в предложении в роли существительного - Что? - Чайная закрыта. Если же это слово в предложении связано с существительным и при этом обозначает его признак, определяет его качество, тогда оно выступает в роли прилагательного - Какая? Чайная плантация издали выглядела как изысканный изумрудный ковёр.
Ещё примеры.
Чайная (прилагательное) посуда после вчерашнего скандала лежала печальной грудкой осколков на полу. Чайная (прилагательное) ложечка мёда не повредит твоему больному горлу.
                                                                              

Есть ряд слов, которые по всем признакам являются прилагательными, но на самом деле в зависимости от контекста могут рассматриваться и как существительные.
Примером нам послужит слово "передняя".
Передняя ось автомобиля от удара сломалась (прилагательное)
Передняя представляла собой довольно темную комнату. (существительное)
Обычно такие прилагательные образованы от существительных.
Стол - столовая ложка - столовая общепита.
Примеры:
Стол - (существительное)
Столовая ложка из чистого серебра.(прилагатель�ное)
Столовая была полна народу. (существительное)
Такая же история со словом "чайная"
Чай - (существительное)
Чайная роза, посуда, заварка (прилагательное)
Чайная закрыта на ремонт. (существительное)

Слово "чайная" очень интересное слово.
Оно может выступать и в роли прилагательного и в роли существительного. Все зависит от окружения этого слова, от контекста, который оно имеет.
Итак, приведем примеры, чтобы было понятнее:
У меня расцвела желтая и розовая чайная роза. Здесь слово чайная прилагательная.
Чайная церемония затянулась на несколько часов. Это тоже прилагательное.
Чайная кампания стала процветать в связи с повышением спроса на чай, также благодаря улучшению качества продукции. Это слово здесь тоже является прилагательным.
Чайная располагалась на углу Патриаршей улицы и улицы Некрасова. Здесь слово "чайная" уже существительное, подразумевающее заведение общественного питания.
Чайная прадлагает очень большой выбор пирожков, а также беляши.

Сразу возникает у меня ассоциации с этим словом - ложка. Чайная ложка (какая?), в данном случае слово "чайная" выступает как прилагательное. Примеры словосочетаний в которых слово "чайная" является прилагательным: чайная роза, чайная пара, чайная церемония, чайная культура, чайная посуда, чайная плантация, чайная традиция, чайная сода, чайная колбаса.
Многие посещают гастрономическое заведение, в котором подают ароматный чай. Такое заведение называют чайная (что?). Так в этом случае имеем дело с именем существительным (замечательная Чайная открылась сегодня в нашем районе, в которой теперь можно будет насладиться ароматным чаем).

Слово «чайная» - это омоним, то есть это слово в разных предложениях может иметь разный смысл и быть или существительным, отвечающим на вопрос что? или прилагательным, отвечающим на вопрос какая?.
В значении прилагательного:
Китайская чайная церемония имеет давние традиции.
Мне на свадьбу подарили красивый чайный сервиз.
В эту зиму все чайные розы на моем участке погибли.
В значении существительного:
На первом этаже нашего дома вместо пивной открыли чайную.
Чайная - это название заведения, отвечает на вопрос что?

Слово «чайная» может иметь разное грамматическое значение, то есть являться разными частями речи. 
Разберем их последовательно.
Слово «чайная» - это качественное  прилагательное женского рода. Вопрос к прилагательному – какая? -  «чайная».
Например, в предложении:
Чайная церемония в Китае – это настоящий ритуал. Эта чайная серебряная ложка - память моего детства. Слово «чайная»  может быть  существительным  женского рода, отвечающим на вопрос – что? Здесь происходит переход одной части речи (прилагательного)  в другую (существительное), который называется конверсией.
Приведем пример предложения с существительный «чайная»:
Ближайшая чайная находися совсем недалеко от нашего дома.

Существительное; если подразумевается заведение (также как и Столовая, Рюмочная, Пельменная).
Прилагательное, если употребляется с существительным: чайная роза, чайная колбаса и т.д.