Как это решить Смерить или измерить? Как правильно? В каких случаях? Почему?.

Мерить – измерить. Это основная видовая пара глаголов, стиль нейтральный. Глагол «измерить»  используется как в технических текстах, так и  в обычных ситуациях. Измерить  можно точно или  приблизительно (на глаз). Глагол имеет и переносное значение – например, измерить глубину чувства.
Для глагол «смерить» в словаре указана  пометка (разг.) – например,  в бытовой ситуации допускается выражение  «смерить температуру».  Довольно употребительным является сочетание «смерить взглядом»  – как бы оценить  кого-либо на взгляд,  выразив  тем самым пренебрежительное отношение к нему. В этом случае  разговорный глагол «смерить»  более уместен, чем нейтральный глагол «измерить».