"Театр Вахтангова" с какой буквы пишется?
Как и в каких случаях использовать прописные (заглавные) буквы при написании словосочетания "театр Вахтангова"?
"Театр Вахтангова" пишется с "большой" буквы или с "маленькой"?
"Театр Вахтангова" пишется в кавычках или без кавычек?

Скорее всего, имеется в виду название соответствующего драматического театра, работающего в Москве.
Если писать словосочетание "Театр Вахтангова", то это принятое наименование данного театра, которое можно назвать сокращённым, поскольку полное (официальное) название выглядит обычно несколько по-другому. Вот так:
Что же у нас получается? Если мы пишем название театра полностью, то заглавные буквы используются в самом первом слове ("Государственный"), а также при написании имени и фамилии человека, в честь которого назван театр (первого руководителя).
Если писать сокращённо, то слово "Театр" может взять на себя функцию начала уникального названия и писаться с "большой" буквы. Получится: Театр Вахтангова или Театр имени Вахтангова.
Впрочем, заглавная буква в слове "Театр" - это просто выделение в тексте, чтобы не потеряться, где название, а где другие слова. а в иных случаях "театр" пишут со строчной.
Кавычуи не нужны.