В вопросе речь не идёт о произношении «р» или польской «л», или украинской "г(ґ), как бы их не произносили они, таковыми и остаются, о совершенно экзотических звуках.

Если Вы имеете в виду звуки из других языков, то их великое множество. Я знаю не так много языков, чтобы перечислить все, поэтому скажу, какие знаю.
Например, французский звук, обозначающийся обычно буквой "е". Он что-то между "о" и "ё". В немецком языке, вроде бы, обозначается буквой "о умляут".
Так же во французском есть звук обозначающицся буквой "u". Он звучит как "у" и "ю" одновременно. В немецком по-моему это "u умляут".
Также, в русской кириллице нет обозначения долготы звука. Уверена, что в современных языках долгота звука встречается. Но точно знаю, что долгота звука играла важную роль в латыни.
В финском языке встречается звук похожий на "ю" на вдохе.
В экзотических для нас языках есть ещё больше необычных звуков для русского человека. Например, в африканском языке зулу есть щёлкающие звуки. В языках юга африки щёлкающие звуки есть во многих языках, их относят к койсанским языкам. (вроде язык зулу не относится к этой группе).
Так что необычных звуков, которые нельзя написать кириллицей - великое множнство.
                                                                              

Сразу на ум приходит украинский "гэ", но о нем уже упоминается в вопросе. А так русской кириллицей невозможно записать мягкий "ж", вот есть "ш" и "щ", "щ" можно выразить, как мягкий вариант "ш", а вот варианта мягкого "ж" нет.

Лично мне сразу приходит в голову отрицательное междометие, которое массово используют наши мусульмане, скорее всего, пришедшее из арабского: цокающий звук, извлекаемый языком в передней части нёба возле зубов. Оно точно имеет отношение к речи, но написать его по-русски точно невозможно, только описать. Однако такой звук не используется в прочих словах, только отдельно, и только, как междометие. Аналогичное междометие, уже не как отрицательное, а как выражение досады используется и в русском, хотя и оно пришло, скорее всего, из тюркского.