Как правильно: застелать или застилать?
Какой корень "стил" или "стел"?
ЗастИлать или застЕлать?
Как объяснить правописание?
Какая часть речи?

               Тут вся суть в суффиксе -а.
Либо он есть в слове, либо его нет. И в зависимости от этого мы будем выбирать, какую гласную написать в корне. Поскольку в корнях стил-/ стел- ( пер-/пир-, мер-мир- и некоторых других) гласные чередуются.
При наличии суффикса -а, писать будем гласную и- , при отсутствии - пишем в корне гласную е-.
1 Научись красиво застИлАть постель.
2 Нужно было изначально застИлАть пленку, теперь уже поздно.
3 Снег принялся тонким белым ковром застИлАть мостовую, тротуары, клумбы.
4 Зачем вам сегодня понадобилось новую скатерть срочно застИлАть?
Застилать, расстилать, устилать, но стелить, стелится, застелить.
                                                                              

               По поводу части речи: это глагол, обозначает действие, отвечает на вопрос: "что делать?".
Это случай с чередованием гласных в корне слова. Корень стил/стел относится к корням, написание которых зависит от наличия или отсутствия суффикса -а-  после корня или его отсутствия. Если после корня есть суффикс -а-, выбирать надо вариант с гласной "и", если этого суффикса нет - вариант корня с "е".
В корне слова "застилать" будет буква "и", потому что после корня есть суффикс "а", и это не слово-исключение.

               "Застилать", в изначальном своём значении, означает "закрывать", "заслонять", ещё как-либо ограничивать видимость и происходит от устаревшего ныне слова "застИть" с тем же значением - закрывать/заслонять (пример употребления: "отойди, - ты мне вид застишь"). Оно же и проверочное слово с буквой "и" на "борту". Так что правильно будет "застилать".
Кстати, я вдохновился этим вопросом и задал схожий вопрос:
Почему пишем "застИлать", но при этом "стЕлить", "застЕлишь"?

               Слово "заст(е/и)лать" является глаголом неопределенной формы и чтобы определить, какой здесь корень "стил" или "стел", как пишется "застИлать" или "застЕлать" - обратимся к правилам русского языка.
В правописании глагола "заст(и/е)лать" проверочного слова не существует , так как здесь имеет месть быть чередование гласных в корнях "стил/стел": если после корня последует суффикс "а", то пишем "стил"; если нет "а", то - "стел".
Так как в данном случае присутствует суффикс "а", то следовательно пишем корень "стил" - застИлать.
Быстро и красиво застилать постель Николай научился ещё с армейской службы.