Есть общеизвестные правила, когда перед словом "как" ставится запятая и когда не ставится. В частности, в сложноподчинённом предложении ставится, а при "сложном сказуемом" нет.
Возник спор, нужна ли запятая во фразе "научите, как правильно писать". Я считаю - нужна. Полагая, что "научите" и "писать" два сказуемых сложноподчинённого предложения. Мой оппонент считает - не нужна. Считая оборот "научите писать" составным сказуемым. Собственно, если выкинуть слово "как" ("научите правильно писать") - он был бы прав. Так всё же - делает ли слово "как" эту фразу сложноподчинённым предложением?

Это сложноподчиненное предложение с придаточным изъяснительным.
Главная часть предложения ("научите") представляет собой односоставное предложение, в котором сказуемое выражено глаголом 2-го лица повелительного наклонения. Глагол-сказуемое явно указывает  на определенное лицо (вы научите), на отсутствующее подлежащее. Это определённо-личное предложение.
От сказуемого в главном  предложении напрашивается падежный вопрос "чему научите?" и к нему присоединяется ответ с добавочным разъяснением. Присоединяется  союзом "как".
Это есть придаточное изъяснительное, которое должно отделяться от главного предложения запятой.
Запятая в этом предложении обязательна.
                                                                              

Лично я согласна с вашим "оппонентом".
В данном словосочетании запятая перед "как" не ставится.
Не нужна она тут.
Тоже считаю "научите писать" составным сказуемым.
И чисто интуитивно запятая перед "как" в данном случае "глаз режет".