Какое значение имеет выражение "на раз"?
Какая это часть речи? Наречие, существительное с предлогом или другое?

Слово "раз" может быть различной частью речи -  всё зависит от контекста. Оно может быть существительным, означающим однократное действие. В другой ситуации оно может  быть числительным в значении "один".  А  вот в  данном случае  структура  «на раз» является  существительным   с предлогом «на» и представляет собой фразеологизм, т.е. устойчивое сочетание,   имеющее значение  «легко, без особых проблем», например:
Вопрос: «Как он попадал в доверие к клиенту?».  – Ответ «легко» свидетельствует, что структура «на раз» используется здесь  в функции наречия и играет в предложении роль обстоятельства образа действия.
В разговорную речь выражение «на раз» попало из словаря русского арго - воровского жаргона. Это видно уже на примере этого предложения  по выбору слов: «влезать» (в доверие), влезать без особых проблем - «на раз», «без мыла», т.е.  легко, безо всякого труда. 
По статусу употребление  в языке это выражение не относится даже к жаргону, имеющему профессиональную прикреплённость,  а оно скорее  сленговое, т.е. употребляется  в ограниченных  социальных группах,  либо в художественных произведениях для характеристики некоторых персонажей.