Как решить Как правильно: обниму́, обойму́ или обыму́?.

Все три примера имеют право на существование, являясь правильными с точки зрения грамматики русского языка. Они представляют собой формы сов. вида, 1 спряжения,  будущего времени, 1 лица, ед.ч., глагола "обнять". Различия между ними носят лексикологический характер.
"Обнять- обниму" является наиболее употребительным вариантом в современном русском языке в своем прямом значении: охвачу руками, заключу в объятия.
Я ее горячо обниму при встрече и прощу все обиды.
Переносные оттенки смысла встречаются преимущественно в литературной речи.
Ночь еще только что обняла небо. Н.В. Гоголь.
"Объять-обойму, обыму"-это устаревшие просторечные варианты со сходным смыслом. В современном лексиконе могут использоваться лишь с оттенком стилизации под старину.
Дай я тебя, как бы сказал мой прадед, обыму!