Вопрос такого характера. Каким членом предложения является местоимение в данном примере: «Нашлась ваша сумочка» ?

 Подлежащее
 Обстоятельство
 Дополнение
 Определение

Ваш - притяжательное местоимение, выполняет в предложении функцию определения: Сумочка (чья?) ваша.
-------
Определим, каким членом предложения является местоимение в данном примере: «Нашлась ваша сумочка»:

подлежащее - нет,
обстоятельство - нет,
дополнение - нет,
определение - да.