И связаны ли между собой чижик-пыжик, пыжиковая шапка и глагол "пыжиться"?

Имя существительное из вопроса относится к многозначным словам ( они имеют несколько значений ). Я бы выделила у это слова 2 основных значения:
1) чрезмерно упитанный человек или другое живое существо невысокого роста,
2) детеныш северного оленя, которому не более месяца ( по другим сведениям, полугода ) отроду, а также мех этого зверька.
Чижик-пыжик и пыжиковая шапка между собой связаны. Студенты-правоведы из Императорского училища в Санкт-Петербурге зимой носили чижиковые шапки, а их форма напоминала по цвету окраску чижа. За это будущих юристов так и называли.
Слово пыжик целиком является корнем.
Глагол же пыжиться со значением "важничать" образован суффиксальным способом от существительного пыж ( клубок ), морфема -пыж- в нем является корнем.